はじめまして。ひまじん(@hiamjin_nazo)です。

1/14にあったJMO予選を受けたので感想などについて書きます。

わたしの解法

(特に記載ない限り試験会場で解いた際の解き方です)

1 N

xで括って、yで括って終わり

2 A

100√10以下であることから100の位2、mod10から1の位5が確定し、あとは全探索

3 C

一瞬地雷に見えたため後回しに(6まで解いた後で戻ってくる)

1,9が両方角のとき、一方が角でもう一方が角でなく中央でもない時に分けて数え、あとは回転させて全ての場合を得て終わり

4 G

FHとCEの交点をIとし、AG=xとしてAG:GB=CI:IE=CH:EFを使うとxの2次方程式を得るので解いて終わり

5 N

幸いにも早い段階で3×(条件を満たす数)+1がmod97×100×103で0と気づけたのでそのまま

6 C

正120角形は点の選び方について互いに影響しない正20角形6個に分割できて、20角形については9辺分ずつ離れた3点が入ってはいけないので、(20角形について)個数をXとすると、 $3X\leq 20\times 3 \times \frac {2}{3}$ 、一方13個は構成可能

7 A

少し戸惑ったが、因数定理でPは形がほぼわかるので、Q(x)を移項して右辺を因数分解すると解けた

8 G

BIについてDと対称な点、CIについてEと対称な点をとると、これらが一致しないとするとABCが二等辺三角形になってダメなので一致する。

すると角度計算で $\angle A=120^\circ$ がわかるのであとはAIとBCの交点をEとして $\triangle AEB+ \triangle AEC = \triangle ABC$ と余弦定理でAB、ACのみからなる式を2本作って解いて終わり

9 C

【試験会場】

見た瞬間計算爆発系の地雷と確信し捨てる。

【試験後】

帰る途中のTLで“列の条件は4つのうち3つの色を決めると残りが決まると捉えられる”っていうのを見てなるほどぉという感じになるこういう感じの問題に弱いとつくづく思う

10 G

【試験会場】

15分ほど格闘し、最後にも戻ってきたが解けない。

【試験後】

まだ解けてません…

11 N

はじめ、これm無限個あるかもしれんくねと思うがちょっと考えなくても $1\leq m \leq 2019^3-1$ がわかる。 $N=2019^3,A=gcd(k-1,N),B=gcd(k,N)$ とする。

xy平面上で2つの図形 $y=x,y=kx-N\lfloor \frac {kx}{N} \rfloor$ を考えると、後者のx=mの点はkmをNで割った余りになり、条件を満たすmの数は後者の上に乗っている格子点のうち前者より上にあるものの数となる。

この2グラフは $(2019^3/2,2019^3/2)$ について点対称で、よってこの図においてy=xより上にある格子点の数は、 $y=kx-N\lfloor \frac {kx} {N} \rfloor$ の端、y=xとの交点を考えて $f(k)=\frac {2019^3-1+A-B}{2}-A=\frac{2019^3-1-(A+B)} {2}$ となる。

これより $A+B$ のとる値の種類を( $gcd(A,B)=1$ に注意して)見ればいい…はずなのだが、試験会場ではなぜか上の式の分母でAを足し忘れてAとBの対称性が崩れ、答えが正答の約2倍になってミス。

12 A

【試験会場】

とりあえず色々代入してみる。 $C=F(\emptyset)$ とすると、 $A=\emptyset$ として $B\supset C$ について $F(B)=\emptyset$ 、 $A=C$ として $F(B)\subset F(\emptyset)$ を得たところで、あれこれっていつもの年号悪ノリの2019じゃなくて6だしスケールが小さいからギリ計算できるタイプの計算めんどいやつじゃねと計算ミスに恐れ戦き撤退。

【試験後】

$B=\emptyset$ とすると $F(F(A))=A\bigcap C$ を得て、 $F(A\bigcap C)=F(F(F(A)))=F(A)\bigcap C$ なので結局Fから誘導される $G :2^C \to 2^C$ を決めればあとは決まるっぽい。以下 $|C|=n\geq 1$ としてこのGを考える。 $C=\bigl\{1,2, \cdots ,n\bigr\}$ としておく。

$G(\emptyset)=C,G(C)=\emptyset$ 、また $A \subset C$ について $G(G(A))=A$ であって、この式からGは全射、さらに単射である。また、元の条件式で $A=G(A)$ とすると $G(A\bigcup B)=G(A)\bigcap G(B)$

この時点でGにかなり補集合みがあるので $G(\bigl\{1\bigr\}),G(\bigl\{2\bigr\}),\cdots$ は大きい集合になりそう。というか実際 $S\subset T$ なら $G(S)\supset G(T)$ なので、 $G(\bigl\{i\bigr\})=C-\bigl\{a_i\bigr\}$ となる1,2,…,nの置換 $\bigl\{a_i\bigr\}$ があることになる。この置換は2回かけると恒等置換にならないといけないので、Cの選び方を考え、 $C=\emptyset$ の場合も考えると、答えは $A_n=|\bigl\{a \in S_n \mid a^2=1 \bigr\}|$ として(ここで $S_n$ はn次対称群)、